6.6
AKAR BERULANG
Jika akar berulang (repeated
roots) djumpai dalam persamaan karakteristik, maka eigenvektor yang
bersangkuta adalah tidak unik dan suatu kombinasi linier dari eigenvektor
semacam itu juga memenuhi persaman gerak.
Dengan megalihkan persamaan kedua dengan konstanta b, dan menambahkan pada persamaan
pertama didapar persamaan lain. Jadi suatu eigenvektor baru, X12=X1+bX2, yang merupakan kombinasi
linier dari dua yang pertama, juga memenuhi persamaan dasar.
Setiap ragam yang berhubungan harus ortogonal terhadap X3, jika merupakan ragam normal. Jika
ketiga ragam adalah ortogonal, maka semua ragam tidak bergantung linier dan
boleh dikombinasikan untuk menjelaskan getaran bebas yang dihasilkan dari
kondisi awal manapun.
6.7
MATRIK RAGAM P
Penggandengan statik atau dinamikdiperoleh dari pemilihan
koordinat , dan bahwa untuk sistem tanpa redaman, ada suetu set koordinat utama
yang menyatakan persaan gerak dalam bentuk tak tergandeng.
Untuk sistem bongkah
massa (lumped massa) berderajat kebebaan banyak koordinat yang diplih untuk
tiap titik massa akan menghasilkan matriks massa yang menandakan penggandengan
statik. Matrik ragam memungkinkan pemasukan semua hubungan ortogonalitas dalam
satu persamaan, untuk operasi ni diperlukan tranpos P.
Jika setiap kolom matriks ragam P dibagi oleh akar massa umum Mi,
maka matriks baru ini disebut matriks ragam berbobot (weighted modal matrix).
6.8
REDAMAN DALAM (Modal Damping) DALAM GETARAN PAKSA
Persamaan gerak sistem yang mempinyai derajat kebebasan
dengan redaman viskos dan rangsangan yang berubah-ubah F(t) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, persamaan ini biasanya
merupakan himpunan n persamaan
gandeng.
Jika C sebanding dengan M atau K, maka matriks diagonal.
Pada umumnya, P’CP tidak diagonal dan persamaan diatas digandeng oleh matriks
redaman.
6.9
PENJUMLAHAN RAGAM NORMAL
Secara rutin
dapar dipecahkan dengan komputer digital. Tetapi, untuk sistem dengan derajat
kebebasan yang banyak seali, perhiyungan akan menjadi mahal. Namun ukuran
komputasi dapat dikurangi (atau mengurangi jumlah derajat kebebasan sistem)
dengan prosedur yang dikenal sebagai (metode
penjumlahan ragam). Pada dasarnya, simpangan struktur yang disebabkan
rangsangan paksa diperkirakan oleh jumlah ragam normal sistem dalam jumah
terbatas dikalikan dengan koordinat umum.
Kedudukan seluruh n lantai dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks ragam P yang terdiri dari
hanya tiga ragam.
Penggunaan matriks
ragam terbatas mengurangi sistem sedemikian rupa sehingga sama dengan jumlah
ragam yang dipakai.
BAB 7
GETARAN RAGAM NORMAL SISTEM KONTINU
Sistem yang akan dipelajari dalam bab ini mempunyai
distribusi massa dan elastisitas kontinu. Benda-benda ini dianggap homogen dan
isotropik, mengikuti hukum Hooke dalam batas elastik.
Secara umum, getaran
bebas benda-benda ini adalah jumlah ragam utama yyang telah dibahas
sebelum ini. Untuk ragam utama getaran, tiap partikel benda melakukan gerak
harmonik sederhana pada frekuensi yang sesuai dengan akar tertentu persamaan
frekuensi.
Dalam bab ini beberapa persoalan getaran benda elastik
yang lebih sederhana akan dibicarakan. Solusi persoalan ini akan dibahas dalam
hubungannya dengan ragam getaran utama.
7.1
KAWAT BERGETAR
Suatu kawat luwes dengan massa persatuan panjang s diregang
dengan tegangan T. Dengan menganggap
penyimpangan lateral kawat, y adalah
kecil, maka perubahan tegangan karena penyimpangan dapat diabaikan.
Dengan cara yang sama
dapat ditunjukan bahwa F2 (ct + x)
mewakili gelombang yang bergerak kearah x
negatif dengan kecepatan c,
makakarena itulah c disebut kecepatan
rambat gelombang.
Dalam kasus getaran
bebas yang umum yang dimulai dengan cara apapun, solusi akan mengandung banyak
ragam dan persamaan simpangan.
7.2
GETARAN LONGITUDINAL BATANG
Batang yang akan diperhatikan dalam bagian ini dianggap
tipis dan uniform. Karena adanya gaya-gaya aksial maka akan ada perpindahan u sepanjang
batang yang merupakan fungsi posisi x
dan waktu t.
Karena batang mempunyai
jumlah ragam getaran natural, yang tak terhingga, maka distribusi perpindahan
akan berbeda untuk masing-masing ragam.
7.3
GETARAN TORSIONAL BATANG
Persamaan gerak
batang dalam getaran tosional adalah sama dengan persamaan getaran
longitudional batang seperti yang dijelaskan dalam bagian terdahulu.
Misalnya x
diukur menurut panjang batang, maka sudut puntiran batang sepanjang dx yang disebabkan oleh torsi T.
7.4
PERSAMAAN EULER UNTUK BALOK
Untuk menentukan persamaan diferensial getaran lateral
balok, perhatikan gaya dan momen yang bekerja pada elemen balok yang terlihat
dalam gambar 7.4-1.
V dan M adalah berturut-turut, geseran (shear)
dan momen tekukan (bending moment) dan p
(x) menyatakan beban per satuan panjang pada balok.
Dengan menjumlahkan gaya pada arah y
dV - p(x) dx = 0
untuk balok yang bergetar terhadap posisi kestimbangan
statiknya karena beratnya sendiri, beban per satuan panjang adalah sama dengan
beban inersia karena massa dan persamaan, karena gaya inersia adalah searah
dengan p (x).
7.5
EFEK INERSIA PUTARAN DAN DEFORMASI GESEKAN
Teori Timoshenko menjelaskan tentang inersia
putaran maupun deformasi gesekan balok. Diagram benda bebas dan geometri elemen
balok adalah seperti terlihat dalam Gambar 7.5-1. Jika deformasi gesekan adalah
nol, maka garis tengah elemen balok akan berimpit dengan garis tegak pada
permukaan penampang. Karena gesekan, maka elemen tegak lurus akan cenderung
berbentuk intan/jajaran genjang ada rotasi pada permukaan, dan lereng (slope)
garis tengah akan berkurang dengan sudut gesekan (shear) angle (dx).
Jadi jelas bahwa
persamaan Euler adalah hal khusus
untuk persamaan balok umum yang mengandung inersia putaran dan deformasi.
7.6
GETARAN SELAPUT
Selaput/membran
tidak mempunyai kekakuan, dan beban lateral padanya hanya ditahan oleh tegangan
selaput itu sendiri. Persamaan geraknya dapat diturunkan dengan prosedur yang
sama dengan yang digunakan pada kawat tetapi dilakukan untuk dua dimensi.
Anggaplah bahwa tegangan selaput adalah uniform, T per satuan panjang, yang demikian
besar sehingga perubahannya yang disebabkan penyimpangan lateral adalah kecil.
Dengan menetapkan posisi seimbang selaput pada bidang xy, dan mengambil w
sebagai penyimpangan lateral, akan diperiksa gaya-gaya pada elemen dx dy.
7.7
PERHITUNGAN DIJITAL
Jika gerak
anggota struktur dinyatakan oleh persamaan diferensial parsiel, maka metoda
pemisahan nariabel ternyata mengeliminir variabel waktudan menyederhanakan
persamaan gerak menjadi suatu persamaan gerak diferensialbiasa dalam koordinat
ruang x. (Lihat Bagian 7.1 untuk
kawat).
Jika parameter sistem berubah terhadap posisi, maka
solusi analitisadalah tidak mungkin. Untuk kasus semacam itu, persoalan dapat
dipecahkan dengan metoda beda-hingga. Jadi pertimbangan khusus perlu diberikan
pada syarat batas.
Beda-hingga. Dalam metode ini persamaan
diferensial dan syarat-syarat batasnya diganti oleh persamaan beda-hingga. Hal ini
akan menyederhanakan persoalan menjadi suatu set persamaan aljabar simultan
yang dapat dipecahkan dengan komputer dijital.
![]() |
Add caption |
Prosedur diatas dapat diulang berkali-kali untuk turunan
yang lebih tinggi. Pola beda hingga sampai turunan keempat dapat dilihat dalam
tabel dibawah ini.
Syarat-syarat
batas. Untuk memenuhi syarat-syarat batas, dipilih titik semu diluar
struktur. Berikut ini adalah syarat-syarat batas yang biasa ada pada balok:
v Balok
yang ditopang
v Ujung
jepit
v Balok
ditahan sebagian
v Ujung
bebas