Getaran

6.6 AKAR BERULANG

            Jika akar berulang (repeated roots) djumpai dalam persamaan karakteristik, maka eigenvektor yang bersangkuta adalah tidak unik dan suatu kombinasi linier dari eigenvektor semacam itu juga memenuhi persaman gerak.

            Dengan megalihkan persamaan kedua dengan konstanta b, dan menambahkan pada persamaan pertama didapar persamaan lain. Jadi suatu eigenvektor baru, X12=X1+bX2, yang merupakan kombinasi linier dari dua yang pertama, juga memenuhi persamaan dasar.

            Setiap ragam yang berhubungan harus ortogonal terhadap X3, jika merupakan ragam normal. Jika ketiga ragam adalah ortogonal, maka semua ragam tidak bergantung linier dan boleh dikombinasikan untuk menjelaskan getaran bebas yang dihasilkan dari kondisi awal manapun.

6.7 MATRIK RAGAM P

            Penggandengan statik atau dinamikdiperoleh dari pemilihan koordinat , dan bahwa untuk sistem tanpa redaman, ada suetu set koordinat utama yang menyatakan persaan gerak dalam bentuk tak tergandeng.

Untuk sistem bongkah massa (lumped massa) berderajat kebebaan banyak koordinat yang diplih untuk tiap titik massa akan menghasilkan matriks massa yang menandakan penggandengan statik. Matrik ragam memungkinkan pemasukan semua hubungan ortogonalitas dalam satu persamaan, untuk operasi ni diperlukan tranpos P.

            Jika setiap kolom matriks ragam P dibagi oleh akar massa umum Mi, maka matriks baru ini disebut matriks ragam berbobot (weighted modal matrix).

6.8 REDAMAN DALAM (Modal Damping) DALAM GETARAN PAKSA

            Persamaan gerak sistem yang mempinyai derajat kebebasan dengan redaman viskos dan rangsangan yang berubah-ubah F(t) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, persamaan ini biasanya merupakan himpunan n persamaan gandeng.

            Jika C sebanding dengan M atau K, maka matriks diagonal. Pada umumnya, P’CP tidak diagonal dan persamaan diatas digandeng oleh matriks redaman.

6.9 PENJUMLAHAN RAGAM NORMAL

            Secara rutin dapar dipecahkan dengan komputer digital. Tetapi, untuk sistem dengan derajat kebebasan yang banyak seali, perhiyungan akan menjadi mahal. Namun ukuran komputasi dapat dikurangi (atau mengurangi jumlah derajat kebebasan sistem) dengan prosedur yang dikenal sebagai (metode penjumlahan ragam). Pada dasarnya, simpangan struktur yang disebabkan rangsangan paksa diperkirakan oleh jumlah ragam normal sistem dalam jumah terbatas dikalikan dengan koordinat umum.

Kedudukan seluruh n lantai dapat dinyatakan dalam bentuk matriks ragam P yang terdiri dari hanya tiga ragam.

Penggunaan matriks ragam terbatas mengurangi sistem sedemikian rupa sehingga sama dengan jumlah ragam yang dipakai.

                                                       BAB 7

            GETARAN RAGAM NORMAL SISTEM KONTINU

            Sistem yang akan dipelajari dalam bab ini mempunyai distribusi massa dan elastisitas kontinu. Benda-benda ini dianggap homogen dan isotropik, mengikuti hukum Hooke dalam batas elastik.

            Secara umum, getaran  bebas benda-benda ini adalah jumlah ragam utama yyang telah dibahas sebelum ini. Untuk ragam utama getaran, tiap partikel benda melakukan gerak harmonik sederhana pada frekuensi yang sesuai dengan akar tertentu persamaan frekuensi.

            Dalam bab ini beberapa persoalan getaran benda elastik yang lebih sederhana akan dibicarakan. Solusi persoalan ini akan dibahas dalam hubungannya dengan ragam getaran utama.

7.1 KAWAT BERGETAR

            Suatu kawat luwes dengan massa persatuan panjang  s diregang dengan tegangan T. Dengan menganggap penyimpangan lateral kawat, y adalah kecil, maka perubahan tegangan karena penyimpangan dapat diabaikan.

Dengan cara yang sama dapat ditunjukan bahwa F2 (ct + x) mewakili gelombang yang bergerak kearah x negatif dengan kecepatan c, makakarena itulah c disebut kecepatan rambat gelombang.

Dalam kasus getaran bebas yang umum yang dimulai dengan cara apapun, solusi akan mengandung banyak ragam dan persamaan simpangan.

7.2 GETARAN LONGITUDINAL BATANG

            Batang yang akan diperhatikan dalam bagian ini dianggap tipis dan uniform. Karena adanya gaya-gaya aksial maka akan ada perpindahan u sepanjang batang yang merupakan fungsi posisi x dan waktu t.

Karena batang mempunyai jumlah ragam getaran natural, yang tak terhingga, maka distribusi perpindahan akan berbeda untuk masing-masing ragam.

7.3 GETARAN TORSIONAL BATANG

            Persamaan gerak batang dalam getaran tosional adalah sama dengan persamaan getaran longitudional batang seperti yang dijelaskan dalam bagian terdahulu.

            Misalnya x diukur menurut panjang batang, maka sudut puntiran batang sepanjang dx yang disebabkan oleh torsi T.

7.4 PERSAMAAN EULER UNTUK BALOK

            Untuk menentukan persamaan diferensial getaran lateral balok, perhatikan gaya dan momen yang bekerja pada elemen balok yang terlihat dalam gambar  7.4-1.

            V dan M adalah berturut-turut, geseran (shear) dan momen tekukan (bending moment) dan p (x) menyatakan beban per satuan panjang pada balok.

            Dengan menjumlahkan gaya pada arah y

                        dV - p(x) dx = 0

            untuk balok yang bergetar terhadap posisi kestimbangan statiknya karena beratnya sendiri, beban per satuan panjang adalah sama dengan beban inersia karena massa dan persamaan, karena gaya inersia adalah searah dengan p (x).

7.5 EFEK INERSIA PUTARAN DAN DEFORMASI GESEKAN

            Teori Timoshenko menjelaskan tentang inersia putaran maupun deformasi gesekan balok. Diagram benda bebas dan geometri elemen balok adalah seperti terlihat dalam Gambar 7.5-1. Jika deformasi gesekan adalah nol, maka garis tengah elemen balok akan berimpit dengan garis tegak pada permukaan penampang. Karena gesekan, maka elemen tegak lurus akan cenderung berbentuk intan/jajaran genjang ada rotasi pada permukaan, dan lereng (slope) garis tengah akan berkurang dengan sudut gesekan (shear) angle (dx).

            Jadi jelas bahwa persamaan Euler adalah hal khusus untuk persamaan balok umum yang mengandung inersia putaran dan deformasi.

7.6 GETARAN SELAPUT

            Selaput/membran tidak mempunyai kekakuan, dan beban lateral padanya hanya ditahan oleh tegangan selaput itu sendiri. Persamaan geraknya dapat diturunkan dengan prosedur yang sama dengan yang digunakan pada kawat tetapi dilakukan untuk dua dimensi.

            Anggaplah bahwa tegangan selaput adalah uniform, T per satuan panjang, yang demikian besar sehingga perubahannya yang disebabkan penyimpangan lateral adalah kecil. Dengan menetapkan posisi seimbang selaput pada bidang xy, dan mengambil w sebagai penyimpangan lateral, akan diperiksa gaya-gaya pada elemen dx dy.

7.7 PERHITUNGAN DIJITAL

            Jika gerak anggota struktur dinyatakan oleh persamaan diferensial parsiel, maka metoda pemisahan nariabel ternyata mengeliminir variabel waktudan menyederhanakan persamaan gerak menjadi suatu persamaan gerak diferensialbiasa dalam koordinat ruang x. (Lihat Bagian 7.1 untuk kawat).

            Jika parameter sistem berubah terhadap posisi, maka solusi analitisadalah tidak mungkin. Untuk kasus semacam itu, persoalan dapat dipecahkan dengan metoda beda-hingga. Jadi pertimbangan khusus perlu diberikan pada syarat batas.

            Beda-hingga. Dalam metode ini persamaan diferensial dan syarat-syarat batasnya diganti oleh persamaan beda-hingga. Hal ini akan menyederhanakan persoalan menjadi suatu set persamaan aljabar simultan yang dapat dipecahkan dengan komputer dijital.

Add caption

            Prosedur diatas dapat diulang berkali-kali untuk turunan yang lebih tinggi. Pola beda hingga sampai turunan keempat dapat dilihat dalam tabel dibawah ini.

            Syarat-syarat batas. Untuk memenuhi syarat-syarat batas, dipilih titik semu diluar struktur. Berikut ini adalah syarat-syarat batas yang biasa ada pada balok:

v  Balok yang ditopang

v  Ujung jepit

v  Balok ditahan sebagian

v  Ujung bebas